Etude inspirée par les vidéos suivantes : Vidéos 1, 2, 3, 4 (The Open University) et 5 (MIT Walter Lewin)

Simulations réalisées avec Cabri-géomètre. Autoriser l'exécution de Java (modifier les paramètres de sécurité si nécessaire).

Objectif: donner à voir, sans calcul, l'existence d'un minimum ou d'un maximum de déviation à l'origine de la direction privilégiée selon laquelle la lumière du soleil émerge des gouttes d'eau, résultant dans la formation de l'arc primaire et de l'arc secondaire. Donner à voir également l'évolution de cette déviation pour les différentes longueurs d'onde qui constituent la lumière blanche.

L'arc-en-ciel primaire résulte d'une première réfraction, d'une réflexion et d'une seconde réfraction à l'intérieur de la goutte d'eau.

La réfraction à l'entrée dans la goutte d'eau obéit à la loi de Snell-Descartes : sin(i)=n sin(r) où n désigne l'indice de réfraction de l'eau voisin de 1,33 mais dont la valeur dépend de la longueur d'onde de la lumière (comme le verre d'où le caractère dispersif de la goutte d'eau analogue à celui du prisme de verre de Newton).

En modifiant l'angle d'incidence i, en déplaçant le point I sur la simulation, on observe que la déviation maximale est voisine de Y=42°, il y a donc un maximum de lumière renvoyé dans cette direction, ce qui est à l'origine de la formation de l'arc dans le ciel (ces points apparaissent plus brillants dans le ciel); cet arc se présente en effet comme la surface d'un cône de sommet l'oeil de l'observateur, de demi angle au sommet Y et d'axe la direction reliant la tête de l'observateur et l'extrémité de son ombre sur le sol (voir l'image ci-dessous extraite de la vidéo). En balayant le point I sur le cercle (qui en fait est une sphère), on voit que la demi-droite épaisse, de direction constante 42° par rapport à la direction du rayon incident, est une direction particulière dans laquelle est renvoyé le maximum de lumière (le rayon émergent "colle" longtemps à cette direction et ne peut aller au-delà), ce qui nous amène à voir tous les gouttes d'eau observées sous cet angle sous la forme d'un arc lumineux (la coupe en fait d'un cône dont la surface est lumineuse).

Résultats obtenus à l'aide de cette simulation:

En modifiant la position du point I sur la simulation, on peut modifier la direction des rayons du Soleil. L'arc-en-ciel vu par l'observateur O est le lieu des points brillants A dans le ciel (en supposant qu'il s'y trouve un nuage de pluie). Plus le soleil est bas (début ou fin de journée), plus l'arc-en-ciel apparaît grand dans le ciel.

L'arc-en-ciel secondaire résulte d'une première réfraction, de deux réflexions et d'une seconde réfraction à l'intérieur de la goutte d'eau.

En modifiant l'angle d'incidence i, en déplaçant le point I sur la simulation, on observe que la déviation minimale est voisine cette fois de Y'=51°, il y a donc un maximum de lumière renvoyé dans cette direction, ce qui est à l'origine de la formation de l'arc secondaire dans le ciel, qui se présente comme la surface d'un cône semblable au précédent mais de demi angle au sommet Y'. En effet, en balayant le point I sur le cercle (qui est une sphère), on voit que la demi-droite épaisse, de direction constante 51° par rapport à la direction du rayon incident, est une direction particulière dans laquelle est renvoyé le maximum de lumière (le rayon émergent "colle" longtemps à cette direction et ne peut aller au-delà), ce qui nous amène à voir tous les points observés sous cet angle sous la forme d'un arc lumineux (la coupe en fait d'un cône dont la surface est lumineuse).

En modifiant la taille du grand cercle (C) sur la simulation, on peut de plus modifier l'indice de réfraction ; sachant que l'indice de réfraction de l'eau augmente lorsque la longueur d'onde diminue, on peut, en augmentant la taille de ce grand cercle, faire comme si on se déplacait dans le spectre du rouge au violet (vers les basses longueurs d'onde), et voir ainsi que la déviation (telle qu'elle est mesurée) augmente du rouge au violet. Ce qui permet d'expliquer les couleurs et leur arrangement : cette fois-ci du rouge à l'intérieur au violet à l'extérieur.

Résultats obtenus à l'aide de cette simulation: